Репетитор по математике объясняет задачу С2 с ЕГЭ 2012
Покажу решение номера С2 (стереометрия) одного из вариантов недавно прошедшего ЕГЭ (2012г). Остальные задачи (по крайней мере по Москве) будут отличаться от разобранной только числами.
Условие С2 с ЕГЭ 2012 :
В прямоугольном параллелепипеде известно, что и . На ребре отмечена точка E так, что . Найдите угол между плоскостями и .
Первое решение репетитора по математике:
Типичной ошибкой является суждение о том, что — линейный угол двугранного угла между плоскостями, ибо плоскость не перпендикулярна к линии их пересечения. Эту линию еще надо построить. Займемся этим. Продлим прямую до пересечения с основанием ABCD в точке P. Очевидно, что P — лежит в плоскости . Становится понятно, что пересекает основание по прямой PB (это показано на рисунке 2). На этом же рисунке . Треугольник PDB нам понадобится для дальнейших вычислений.
Теперь легко построить линейный угол двугранного угла , отвечающий за меру угла между нашими плоскостями.
Для этого из точки D проведем перпендикуляр DK к прямой PB и соединим точку K с точкой . Искомый угол построен. Осталось его вычислить.
Найдем длину гипотенузы треугольника PDM по теореме Пифагора:
(по двум углам)
Аналогично (по двум углам)
Из формулы для площади треугольника PDM (полупроизведение основания на высоту) вытекает, что
, откуда легко находится , что
В треугольнике по известным катетам и найдем
Следовательно
Второе решение репетитора по математике (метод координат):
Введем систему коорднинат так, как показано на рис 4.
В этой системе без труда определяются кооррдинаты точек наклонной плоскости:
Найдем координаты следующих векторов и
Пусть — нормаль к плоскости . Ее координаты должны починяться условиям перпендикулярности нормали к найукащанным векторам и , так как эта нормаль перпендикулярна к найденным векторам и , то можно составить два равенства, каждое из которых получено приравниванием скалярного произведения двух соответствующих пар векторов к нулю.
Мы получили условия, которым удовлетворяют все нормали к плоскости . Однако, для дальнейшего поиска достаточно найти только одну из них. Поищем ту, у которой , тогда:
откуда легко найти что и, в итоге, получим
искомая нормаль.
Для второй плоскости нормаль, очевидно, является вектором, параллельным ребру , поэтому нормаль к АВСD.
Теоретическая справка репетитора по по математике: угол между плоскостями равен углу между нормалями или дополняет этот угол до . Косинусы этих углов или равны или отличаются знаками. Раз мы находим угол между стереометрическими объектами (а он по определению является острым), то
Тогда
Замечание репетитора по математике: на превый взгляд решения имеют разные ответы. Но это не так, ибо полученный арктангенc равен полученному ранее арккосинусу. Для проверки данного факта достаточно обратиться к формуле
и найти, например, косинус искомого угла, зная его же тангенс.
На ЕГЭ можно решать с2 любым известным Вам способом и, конечно же, можно выбирать любую функцию для ответа. Лишь бы было правильно.
Колпаков Александр, репетитор по математике в Москве (Строгино).
Систематические индивидуальные занятия . Подготовка к ЕГЭ.
{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }
Уважаемій Александр! Попала на ваш сайт случайно , однако получила массу удовольствия и полезной информации. Я практикующий учитель и репетитор одновременно. Спасибо за материалы.