Страница является дидактическим сопровождением к статье оптимизация индивидуальных занятий по математике
1. Оптимизация репетитором упражнения по алгебре.
Если репетитор возьмет наугад какой-нибудь номер из школьного учебника, то, скорее всего, он окажется в узких рамках одной темы, например, решить уравнение:
От ребенка требуется умение правильно возвести обе части в квадрат, решить квадратное уравнение и выполнить проверку. Все!
Занимаясь с частным репетитором по математике весь урок только такими уравнениями можно отточить умение работать с квадратными корнями, но, увы, тригонометрия понемногу будет забываться. Для противодействия этому процессу приходится вкрапливать тригонометрию искусственно, растягивая запись уравнениия. Это и есть оптимизация одного упражнения. Она заключается в максимальном использовании других тем в рамках решения текущего задания.
Используются любые ранее изученные и несложные для конкретного ученика мелкие операции, короткие алгоритмы, не мешающие работать с основным. Например, исходное уравнение можно оптимизировать таким образом:
Хороший репетитор по математике не станет оптимизировать упражнение первым попавшимся по руку объектом. Вкраптивание должно быть осмысленным и заставлять ученика возвращаться к тем областям знаний, которые забыты или будут нужны репетитору на ближайших уроках в будущем.
Возможностей оптимизировать задание репетитору предоставляется множество. Например, предложенные коэффициенты квадратных уравнений в 8-ом классе могут быть представлены собой результаты действий с обыкновенными или десятичными дробями, степенями или могут даже на определенном этапе содержать значения тригонометрических функций, например
Оптимизация репетитором геометрической задачи
Репетитор по математике может оптимизировать практически любую геометрическую задачу школьного учебника, например:
Дано:
Равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной, равной 5см.
Найти: радиус вписанной окружности
План решения:
1) найти полупериметр треугольника 2) найти площадь треугольника по формуле Герона
3) приравнять найденную площадь к произведению полупериметра на неизвестный радиус вписанной окружности и найти этот радиус из линейного уравнения.
Ответ:r=1,5
А вот так может выглядеть модификация той же самой задачи, оптимизированная для широкого повторения. Ее решение содержит те же самые пункты вышеизложенного плана, но с большим размахом использования теории:
Дано:
В треугольнике АВС медиана ВМ, равная 4 см, является высотой. биссектриса СN пересекает сторону ВМ в точке К
Найдите: отрезок КМ, если
Решение, конечно, более длинное, но зато оно охватывает сразу гнсколько изученных ранее свойств формул:
- признак равнобедренного треугольника
- свойство медианы в равнобедренном треугольнике
- свойство точки пересечения биссектрис (центр вписанной окружности)
- два свойства степеней с натуральным показателем
- свойство квадратного корня
- основное тригонометрическое тождество (для нахождения синуса угла С)
- определение синуса в прямоугольном треугольнике
- основное свойство пропорции
- теорему Пифагора
- формулу Герона
- формулу,вычисляющую площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.
Преимущества такой постановки задачи очевидны. Вместо того, чтобы повторять каждый пункт в рамках отдельного упражнения (со своими временными затратами на чтение условия, оформление и выполнение рисунка) мы делаем все сразу. Кроме того, ребенку легче выполнять все необходимые операции, потому что преобразования и вычисления используют одни и те же начальные данные и переключение внимания на новые объекты не требуется. Все внимание можно направить на формировании навыков построения алгоритма решения, а не на удержание в памяти особенностей нового объекта (или рисунка) из другой задачи.
Вернемся к алгебре и рассмотрим уравнение:
После всех необходимых преобразований левой части ученик дважды (с разницей в минуту) вынужден заниматься одним и тем же — решением простейшего тригонометрического уравнения вида:
Простая замена репетитором по математике косинусов на синусы позволяет закончить решение уравнения
различными простейшими:
Лучше напомнить сразу и про нули косинуса и про нули синуса, чем тратить время на одно и то же. Полезно бывает вставить какой-нибудь основной угол (границу четверти) под знак одной из функций для применения на старте решения еще и формулы приведения, например:
Если целью занятия у репетитора по математике является не повторение, а ознакомление с новым методом решения задачи, то быстрое «дублирование» показанного алгоритма уже несет в себе уже функцию оптимизации формирования навыков.
Очевидным преимуществом для запоминания решения типовых задач имеют те из них, которые содержат в себе перебор различных вариантов (разбор случаев). Репетитор по математике может разобрать решение в первом случай самостоятельно (например, при работе остроугольным треугольником), а другой случай (с тупоугольным) поручить ученику. Если случаев более двух — разбор третьего можно задать на дом. Ученик лучше запомнит все этапы плана, если между его демонстрацией и его воплощением на практике проходит минимальное время.
Разбор случаев может приводить к различным обращениям к соседним темам. Тогда мы имеем уже оптимизированное задание для повторения. Например, при решении тригонометрических уравнений с участием суммы и произведения синуса и косинуса, при замене Sinx+CosX=t, хорошо бы подобрать такие коэффициенты создаваемого заменой уравнения, чтобы оно имело несколько корней (t1,t2,...) приводящих к различным способам решений в переходе к переменной Х. Например, уравнение
не оптимизировано, так как после замены получаем уравнение
C единственным корнем t=1. А уже уравнение
c точки зрения оптимизации значительно выгоднее, так как после проведения замены получаем уравнение с двумя корнями.
Хорошо было бы подобрать создаваемые заменой уравнения с тремя корнями. Пусть даже кубическое, один из корней которого равен нулю, второй больше корня из двух, а третий от нуля до корня из двух.
Тогда мы одновременно затронем и тему «однородные уравнения» и тему «область значений тригонометрических функций» и «уравнения вида:aSinX+bCosX=c»
Оптимальной и очень эффективной методикой является «урок одной задачи». Необходимое требовани — наличие у нее нескольких доступных школьнику решений. Оптимизируется одновременно сам урок и сама задача. Не нужно тратить лишнее время и силы на чтение нового условия, не нужно менять рисунок, анализировать и запоминать то, что дано и то, что требуется найти. За короткий промежуток времени репетитор по математике охватит с учеником большее количество теоретического материала и одновременно продемонстрирует красоту и непротиворечивости математической науки. Такими средствами оптимизации урока можно заинтересовать ученика в изучении предмета (читайте статью «как замотивировать ученика»).
Примеры оптимизированных заданий по алгебре
1) Найдите производную функции
2) Напишите уравнение касательной к графику
Репетитор по математике, Колпаков Александр Николаевич.
{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }
Очень интересный подход.
Уважаемый Александр Николаевич! Я уже неоднократно восхищалась Вашей работой. Я профессиональный математик (+экономист и юрист), в настоящее время работаю репетитором по математике и обществознанию. Мне очень интересен Ваш подход к индивидуальному обучению. Хотелось бы быть взаимно полезными друг другу. А пока желаю Вам успехов и новых достижений.
Мне интересно поработать над развитием сайта так, он смог быть полезен ученикам, родителям и репетиторам по математике (самого разного калибра). Для этого нужны интересные методические статьи об особенностях проведения индивидуальных уроков математики. Репетиторы, принимающие активное участике в разработке таких материалов будут взяты на заметку при распределении учеников. Также нужны подборки задач по отдельным темам для подготовки к ЕГЭ и ГИА, тесты и видеоуроки по математике. Пишите, звоните и высылайте любые материалы. Помимо учебной работы я помогаю репетиторам с размещением их анкет. Пришлите фотографию и небольшой рассказ о себе, о своих уроках.
Уважаемый Александр Николаевич!
Я тоже занимаюсь репетиторством по математике. Большое Вам спасибо за Ваш сайт! Я восприняла его, как курсы повышения квалификации и как бесценную возможность общения с коллегами.
Ваши идеи решения проблем, с которыми сталкиваются все репетиторы, очень заинтересовали.
Да, проблем очень много. От мотивации и дисциплинированности учеников / родителей, до разногласий со школьными преподавателями по математике в плане целесообразности использования конкретных задач и методик.