Как репетитор по математике объясняет задачу №7

Методики объяснений репетитора по математике: подробное решение задачи №7 с международного конкурса «Кенгуру» от 15 марта 2012года. Несмотря на то, что расположение чисел однозначно определяется, стоимость задачи составляет 5 баллов. Отмечу, что в «Кенгуру» не требуется давать пояснения и оформления задач. Олимпиада проходит в виде теста.

Олимпиадная задача по математике 5 класс. Кенгуру 2012:
Натуральные числа от 1 до 12 расставлены по кругу. Разность любых двух соседних равна 1 или 2. Определите, какие из указанных чисел расположены рядом?
Варианты ответов:
А) 5 и 6
Б) 10 и 9
В) 8 и 10
Г) 6 и 7
Д) 4 и 3

Комментарии и решение репетитора:
Достаточно простая задача, если не пытаться выискивать нестандартные пути — дорожки, а действовать прямолинейно. Вариант определяется однозначно. Помощь репетитору по математике оказывает особенность мышления большинства школьников (4 класс — 6 класс). В подобных ситуациях они начинают подбирать способ расстановки. Сложные олимпиадных задачи по математике (около 80% от общего числа) не рассчитаны на прямой подбор варианта и стратегия его поиска не принесет никаких дивидендов. Но нам повезло, ибо задача попадает в число оставшихся 20%. Если репетитор по математике подскажет число, с которого следует начать подбирать числа — ученик быстро и правильно заполнит все оставшиеся кружки. Это 1 или 12 (на выбор). Возьмем старт с единицы.

Интересно не просто посмотреть готовый вариант, как это обычно предлагают сборники олимпиадных задач по математике, а узнать саму методику поиска. Для опишем логику рассуждений пошагово.

Очевидно, что соседями единички являются числа 2 и 3. Из-за того, что симметричные расклады дают один и тот же ответ, 2 и 3 можно расставить вокруг числа 1 произвольным образом. Запишем, например, слева 2, а справа 3.

Соседним числом для 2, расположенным в выделенном кружке слева, может быть только число, большее чем 2 (меньшая единица уже задействована). Это 3 или 4. Так как 3 не должно повториться, имеем единственный вариант продолжения — направить число 4 в выделенный правый кружок.

Репетитор по математике повторяет аналогичные рассуждения для каждого из появляющихся текущих чисел до того момента пока ученик не увидит закономерность записей: числа на правой части круга образуют последовательность четных чисел, а на левой — последовательность нечетных.

У числа 3 вторым соседом будет или 4 или 5. Число 5 повторно использовать нельзя, поэтому единственной возможностью остается постановка числа 5. Продолжая таким же образом далее
получаем окончательно распределение.

Ответ репетитора по математике: 8 и 10.