Итак, свершилось! Проведен очередной (уже четвертый по счету) ЕГЭ по математике. Многим интересно посмотреть, как репетитор по математике решает задачу С4, которая была на нем предложена. Она у многих не получилась. И даже сами репетиторы не сразу разобрались, что к чему. Вчера мне прислали текст условия С4 и я тут же решил опубликовать свое решение.
Дан треугольник АВС, в котором AB=7, АС=9 и ВС=10. Окружность проходит через точки В и С и пересекает лучи АВ и АС в точках М и Н соответственно. Найти МН, если в ВМНС можно вписать окружность.
Решение репетитора по математике:
Найдем косинус угла А в треугольнике АВС по теореме косинусов:
Применим свойство отрезков секущей (случай их внешнего пересечения) для секущих АВ и АС. Имеем равенство . Пусть AM=x, тогда
Выразим длину отрезка MH через икс по теореме косинусов в треугольнике АМН:
Применим критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Так в BMHC можно вписать окружность, то
И, наконец,
Второй случай:
Возможно принципиально иное расположение точек M и N. Почему? В условии задачи С4 сказано, что окружность пересекает прямые АВ и АС, поэтому нельзя исключать случай расположения точек пересечения с продолжениями сторон. Обе точки M и N (очевидно) не могут располагаться вне отрезков (иначе вписанная в окружность не сможет коснуться отрезка MN. Поэтому одна из точек лежит на стороне, а другая на ее продолжении. Пусть (cм. рисунок слева). Тогда по свойству отрезков хорд имеем . Из этого равенства следует, что . Так как они описаны около одной окружности, то их коэффициент продобия будет равен 1, поэтому эти треугольники равны, а следовательно MN=BC=10
Пусть или .
Как репетитор по математике оценивает задачу: мне всегда было интересно оценивать конкурсные задания по разнообразию и количеству математических фактов, участвующих в их решении. В случае с условием С4 подбор средств для решения оказался достаточно интересным и профессионально выполненным, ибо удалось задействовать сразу три мощных теоремы планиметрии: свойство отрезков секущих, теорема косинусов (применялась дважды) и критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Кроме проверялось умение абитуриента выражать с их помощью отдельные элементы рисунка и использовать полученные выражения при составления финального уравнения.
Можно отметить достаточно высокую степень уникальности задачи. Я не припомню аналогичного условия в каком-либо задачнике, хотя моя подготовка к ЕГЭ по математике отличается большой обзорностью приемов и тем, рассмотрением широкого спектра вариантов прошлых лет (как с ЕГЭ, так и внутренних конкурсных номеров, предлагавшихся сильными ВУЗами раньше). Моя оценка задаче — 9 баллов из 10.
А.Н. Колпаков, репетитор по математике в Москве. Строгино
{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }
Здравствуйте! Можно ещё решить без теоремы косинусов. После применения свойств отрезков секущей, выходящих из одной точки, доказываем, что треугольники АВС и АНМ подобны (АН=7х, АМ=9х, МН=10х), дальше всё аналогично. Уходим от двух вычислений теоремы косинусов.
Да, конечно! Спешил с оформлением решения и пропустил еще более простой ход. Недавно знакомый репетитор по математике прислал мне решение МИОО. Оно получилось и не такое и не такое, а свое. На мой взгляд, сильно сложнее. План моих действий в этом С4 был составлен за 2-3 минуты. Остальное — реализация. Думаю, если посидел бы с задачей еще минуты 2-3 — нашел бы и второе решение :). Надо будет его тоже оформить! Есть еще второй случай, когда окружность пересекает не стороны, а их продолжения (решается иначе). Однако у меня до недавнего моменте не было точной формулировки задачи с4. То, что было прислано по смс — сокращенный текст условия. По нему и решал.
Удалить справедливое замечание! Пять баллов! Бедагог!!!
А если отрезок МН пересекает прямые не по лучам? Блин, математики!!! Сказали же, что по прямым! Ну и? А удалять можете сколько угодно! Я теперь знаю Вашу «математическую» и просто человеческую культуру!
Не обратил внимание на то, как автор рассмотрел второй случай! В условии сказано, что в ВМНС можно вписать окружность! Очень «веселенькое» решение предложил автор сайта. А второй случай возможен именно тогда, когда окружность пересекает продолжение сторон за точки В и С. И рассматривается аналогично первому. Конечно, без всяких теорем косинусов. Ответ будет МН=130/3.