Задача №18 с ЕГЭ по математике 2015

Предлагаю разбор задачи 18 (геометрия) с последнего ЕГЭ по математике. Москва, 4 июня 2015г. При правильной подготовке сильного абитуриента к ЕГЭ репетитор по математике делает ставку на номера c 15 по 18, из которых наиболее трудной как раз является геометрическая задача.

На отрезке АС отмечена точка B. Построены две окружности: окружность №1 c диаметром AB и окружность №2 c диаметром BC. Прямая, проведенная из А касается окружности №2 в точке М и пересекает окр.№1 в точке К. Прямая MB пересекает окр.№2 в точке D.

а) докажите, что AD || MC

б) найдите S_{DBC}, если АК=5 и КМ=25
Задача 18 с ЕГЭ по математике - рисунок репетитора

Решение репетитора по математике:
а) Углы ADB и CMB опираются на диаметры данных окружностей \implies \angle ADB = \angle CMB = 90^\circ. Так как эти углы являются накрест лежащими при секущей MD \implies AD || MC

Накрест лежащие углы (ЕГЭ по математике 2015)

Для дальнейшего штурма второй части (пункта б) репетитору по математике доступны разные пути (я лично насчитал 3 способа решения в пункте б). Оптимальным будет использование доказанного утверждения о параллельности, из которого вытекает: AMCD — трапеция. У любой трапеции равны площади треугольников, образованных диагоналями и боковыми сторонами, поэтому в нашем случае S_{DBC}=S_{ABM}

б) Осталось найти S_{ABM} . Для этого репетитор по математике проводит радиусы BK и OM
Репетитор по математике проводит радиусы BK и ОМ

OM \perp AM (т.к. M — точка касания), BK \perp AM (т.к. \angle AKB опирается на диаметр AB. Следовательно BK || OM , поэтому

\dfrac{AB}{BO}=\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{1}{5}

Пусть AB=x \implies BC = 10x

Воспользуемся свойством квадрата отрезка касательной (см. мой справочник) для AM и секущей AC. Получаем

AM^2=AB \cdot AC

900=x \cdot 11x

x=\dfrac{30}{\sqrt{11}}

По теореме Пифагора в \triangle AKB :

KB^2=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{\dfrac{900}{11}-25}=\dfrac{25}{\sqrt{11}}

S_{DBC}=S_{ABM}=\dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot BK = \dfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot \dfrac{25}{\sqrt{11}} = \dfrac{375}{\sqrt{11}}

Ответ: \dfrac{375}{\sqrt{11}}

Если Вы хотите получить полноценную подготовку к предстоящему ЕГЭ по математике 2016, приезжайте ко мне на занятия в Строгино (м.Щукинская). После последовательной проработки (систематизации / повторения / устранения пробелов) программного материала мы разберем прошлогодние варианты экзаменов. Рассмотренная задача №18 включена в мою дидактическую базу упражнений и будет использоваться для отработки умения справляться с конкурсными номерами ЕГЭ.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике для 5-11 кл. Строгино. Москва.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий