Задача 15 с ЕГЭ по математике 2015. Решение репетитора

При хорошей подготовке к профильному ЕГЭ c любым квалифицированным репетитором по математике тригонометрическая задача второй части должна обязательно решаться сильным выпускником независимо от ее содержания. Если по планиметрии еще можно предложить что то существенно сложное для хорошиста / отличника, то с бывшим номером С1 (тригонометрическое уравнение) проблем в большинстве случаев не возникает. особенно если обозначенные родителями сроки репетитор по математике успеет рассмотреть с учеником все типичные варианты «начинок» уравнений, встречающиеся в 15-ой задаче. Одну из них, предложенную на реальном ЕГЭ по Москве от 4 июня 2015 года, я подробно разберу ниже, итак:

Решите уравнение:

Cos2x + \sqrt{2} \cdot \left ( \dfrac{\pi}{2} + x \right ) +1 = 0

Применим ко второму слагаемому формулу приведения, приводящую к появлению -Sinx, а к первому — одну из формулу косинуса двойного угла (смотри страницу тригонометрические формулы и определения), в которой тоже встречается синус. Получим равносильное уравнение:

1-2Sin^2x + \sqrt{2} \cdot ( -Sinx) +1 = 0

Сделаем замену: Sinx = t и получим:

1-2t^2 -t \sqrt{2} +1 = 0

-t^2 - \sqrt{2} \cdot t +2 = 0

D=b^2-4ac=(-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 18 = (3\sqrt{2})^2

x_1=\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{-4}=-\sqrt{2}  — не подходит, так как значения синуса не может быть меньше чем -1

x_2=\dfrac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{-4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Вернемся к переменной x:

Sinx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

На оси ординат (ось синусов) отметим число \dfrac{\sqrt{2}}{2} и проведем через соответствующую отметку прямую, параллельную оси абсцисс.

Рисунок репетитора по математике для 15 номера

Точки ее пересечения с окружностью изображают углы — корни нашего уравнения, а именно:

arcSin \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}

и

\pi - arcSin \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\pi}{4}

Добавляя периодичность к каждому дроби, получаем окончательные формулы корней уравнения:

x_1= \dfrac{\pi}{4} + 2 \pi \cdot n

и

x_2= \dfrac{3\pi}{4} + 2 \pi \cdot n

б) Отбор углов из отрезка \left [ 2 \pi; \dfrac{7\pi}{4} \right ] лучше вести через соответствующие двойные неравенства:

2 \pi \le \dfrac{\pi}{4} + 2 \pi n \le \dfrac{7 \pi}{2}

2 \pi -\dfrac{\pi}{4} \le 2 \pi n \le \dfrac{7 \pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{7\pi}{4} \le 2 \pi n \le \dfrac{13 \pi}{4}

Поделим обе части неравенства на 2\pi

\dfrac{7}{8} \le n \le \dfrac{13}{8}

Среди целых значений параметра n существует лишь одно число n=1, удовлетворяющее последнему условию. Подставляя его вместо буквы «n» в формулу корней

 x_1= \dfrac{\pi}{4} + 2 \pi \cdot n

получаем:

x_1= \dfrac{\pi}{4} + 2 \pi \cdot 1 =\dfrac{9 \pi}{4}

Производя аналогичные действия по отбору корней из второй формулы, получим:

2 \pi \le \dfrac{3\pi}{4} + 2 \pi n \le \dfrac{7 \pi}{2}

2 \pi -\dfrac{3\pi}{4} \le 2 \pi n \le \dfrac{7 \pi}{2} -\dfrac{3\pi}{4}

\dfrac{5\pi}{4} \le 2 \pi n \le \dfrac{11 \pi}{4}

Поделим обе части неравенства на 2\pi

\dfrac{5}{8} \le n \le \dfrac{11}{8}

n=1

x_2= \dfrac{3\pi}{4} + 2 \pi \cdot 1 =\dfrac{11 \pi}{4}

Ответы:
а)

\begin{cases}x_1= \dfrac{\pi}{4} + 2 \pi \cdot n\\\\x_2= \dfrac{3\pi}{4} + 2 \pi \cdot n\end{cases}

б)

\dfrac{9 \pi}{4};\dfrac{11 \pi}{4}

Колпаков Александр, репетитор по математике для профильного ЕГЭ в Москве, Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий