Задача 16 с ЕГЭ по математике 2016г. Разбор репетитора

В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону  CD  опустили  перпендикуляр  АН.  На  стороне  АВ  отмечена  точка  Е  так,  что прямые CD  и СЕ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые ВН и ЕD параллельны.
б) Найдите отношение ВН:ED, если \angle BCD=135^{\circ}

Разбор репетитора по математике

Разбор репетитора по математике задачи №16 Для пункта «а» необходимо традиционное дополнительное построение, когда боковые стороны трапеции продляются до их пересечения. Пусть это будет точка О (см. рисунок)
Дополнительное построение репетитора

Отметим, что \angle BCE=\angle HAD в силу равенства углов между парами параллельных прямых. Тогда, безусловно, \triangle BCE \sim \triangle HAD по двум углам (с учетом наличия прямых углов). Из указанного подобия вытекает, что

\dfrac{BE}{HD}=\dfrac{EC}{AD}

так как CE \parallel AH \implies \triangle OCE \sim \triangle OAD \implies \dfrac{CE}{AD}=\dfrac{OE}{OD}

Из этих двух пропорций сделаем вывод о том, что \dfrac{BE}{HD}=\dfrac{OE}{OD}.

Проделаем несложные манипуляции с этой верной пропорцией. Имеем:

\dfrac{BE}{OE}=\dfrac{HD}{OD}

\dfrac{OE-OB}{OE}=\dfrac{OD-OH}{OD}

1-\dfrac{OB}{OE}=1-\dfrac{OH}{OD}

\dfrac{OB}{OE}=\dfrac{OH}{OD}

Из последнего равенства (по двум пропорциональным сторонам и углу)  заключаем, что \triangle OCE \sim \triangle OAD \implies \angle OHB=\angle ODE \implies BH \parallel ED

Пункт Б.
\angle BCD=135^{\circ} \implies \angle OCB=45^{\circ} \implies \triangle OBC  — равнобедренный. Тогда OB=BC. Аналогичный вывод BC=BE сделаем из равнобедренности прямоугольного треугольника BEC ( \angle BCD=45^{\circ} ). Легко видно, что B — середина OE \implies k=2  — коэффициент подобия для \triangle OCE и \triangle OAD . Следовательно BH:ED=1:2

Реплика репетитора по математике о качестве варианта ЕГЭ

Совершенно не равноценные задачи представлены в пунктах А и В. Доказав А, можно без особых хлопот справиться с пунктом Б. Оценивать их одинаково, на мой взгляд и взгляд еще двух компетентных репетиторов — коллег в корне неправильно. Надо сказать, что в этом году профильная часть профильного экзамена в целом оказалась довольно сложной и многие учащиеся к такому повороту оказались не готовы. Новая фишка составителей — сочетание логарифма с тригонометрией в номере 13.

Уделяйте больше времени занятиям по математике в течение года. И не только в союзе с репетитором, а еще и самостоятельно.

С уважением, Александр Николаевич. Репетитор по ЕГЭ, ОГЭ, ДВИ и олимпиадной математике. Строгино.