Репетитор по математике о методе интервалов

Для того, чтобы успешно преподавать математику в условиях жесткой экономии времени репетитору необходимо научиться выделять из потока материала наиболее востребованные на экзамене темы и задачи. Одним из важнейших разделов является метод интервалов (метод промежутков). Если репетитор по математике вовремя раскроет ученику суть алгоритма, это позволит не только открыть перспективу решения большого класса задач на неравенства (логарифмических, показательных, рациональных и иррациональных), но и обеспечить усвоение смежных тем, так или иначе связанных с неравенствами, например, исследование функций.

Подготовка к ЕГЭ по математике с прицелом на часть «С» обычно начинается у репетиторов с обучения решению алгебраических уравнений и неравенств. Это вполне разумно, так как в процессе работы с многочленами и дробями можно повторить сразу несколько тем: формулы сокращенного умножения, приведение дробей к общему знаменателю, разложение квадратного трехчлена и др. Какие сложности может испытать репетитор по математике при попытке объяснить школьнику суть метода интервалов? В каком порядке и объеме следует давать данную тему среднему ученику?

Метод интервалов – одна из немногих тем, которая не требует от репетитора предварительной теоретической подготовки, ибо аналогичная задача была поставлена при изучении темы «квадратные неравенств». Разница только в том, что параболу легко построить по ее нулям, а для графика функций, состоящих из трех и более скобок, требуются дополнительные исследования. Фактически репетитору по математике достаточно поставить перед учеником задачу поиска промежутков знакопостоянства левой части. Если ученик не понимает смысла данного термина – нужно вернуться назад к свойствам функций и квадратным неравенствам.

Какую терминологию использует репетитор по математике?

Как известно, перед тем как определять поведение графика на промежутках необходимо найти границы промежутков знакопостоянства. Они могут быть или нулями функции, или точками, в которых значений не существует. Для того, чтобы репетитор по математике смог обеспечить ученика точными и короткими инструкциями — комментариями в процессе решения неравенств, лучше всего ввести для точек единый термин. Я называю их «критическими». Это общее название дял нулей числителя и знаменателя. Чтобы напомнить ученику о начальном этапе работы алгоритма решения достаточно произнести: «Найдем критические точки».

Как репетитор по математике поясняет правило чередования знаков?

Существует два способа для расстановки знаков между найденными критическими точками:
1) Использование пробных точек в каждом промежутке.
2) Поиск знака в каком-нибудь одном из них с последующим применением законов чередования знаков на всей оси (надеюсь, что репетиторам математики оно известно). Второе удобнее и практичнее, но без первого понять метод знаков чрезвычайно трудно. Некоторые репетиторы по математике ограничиваются тем, что просто сообщают ученику правило перехода через четную и нечетную степень и просто закрепляют его на большом количестве заданий.

Я действую иначе. Правило чередования можно и нужно объяснять. Для этого репетитор по математике использует самый простой пример сочетания линейных скобок (не более трех) и сравнивает распределение их знаков в двух пробных точках соседних промежутков. Все скобки (кроме одной) эти знаки повторят, а поменяет его та скобка, от которой образовалась общая граница данных промежутков. На это обстоятельство репетитор по математике обращает особое внимание учащегося. Затем нужно спросить: «Как изменится распределение знаков в случае наличия четной степени у рассматриваемой скобки?». Обычно на такой вопрос ученики отвечают правильно.

Подмеченная закономерность тут же фиксируется репетитором по математике в виде записи правила чередования: при переходе через критическую точку, образованную от линейной скобки в нечетной степени знак на промежутке меняется, а если степень четная – сохраняется. Пожалуй, это основной момент в теме, к пониманию которой репетитор по математике так стремится.

Определение знака в правом промежутке

Чаще всего репетитор по математике может обойтись и без подстановки пробных точек. Для этого нужно обратить внимание на особенность чисел из правого промежутка. Если мы возмем в качестве пробной точки очень большое число, например, 1000000, то получим в каждой скобке тот же знак, какой имеется у коэффициента перед переменной. Если ее степень нечетная – она этот знак сохранит. Поэтому он будет определяться произведением коэффициентов, расположенных в скобках с нечетными степенями. Я предпочитаю оформить это наблюдение в виде правила и записать в теоретическую тетрадь. Правый промежуток наиболее удобен для репетитора по математике в плане разъяснения правил быстрого определения знака (справа всегда можно найти число, заведомо большее любой критической точки). Учитывая это обстоятельство, можно не производить вычислений внутри линейной скобки вообще. Репетитору по математике хватит следующего комментария: «Модуль числа из правого промежутка настолько велик, что в независимости от свободного слагаемого линейной скобки ее знак совпадет с коэффициентом при иксе». Поэтому мы смотрим только на знаки старших коэффициентов и подписываем их над каждой скобкой для финального учета.

Советы репетитора по оформлению решений

Отработка моторики действий по выполнению любого математического алгоритма – чрезвычайно важный этап в работе с учеником (особенно с не самым сильным). В методе интервалов есть несколько формальных моментов, о которых репетитор по математике предупреждает ученика и которые желательно соблюдать:
1) При переносе критических точек на рисунок сначала надо пересчитать их количество, затем равномерно распределить по числовой оси, а уже потом прикреплять к ним числа в порядке возрастания. Как часто бывает? Ученик отмечает первую же попавшую ему на глаза критическую точку посередине оси, затем еще одну. После этого выясняется, что третья точка находится между двумя предыдущими, а четвертая между третьей и второй и так далее. В результате информация концентрируются в середине рисунка, и он теряет разборчивость. Приходится переделывать заново.

Инструкция репетитора по математике с поэтапным переносом точек позволяет снижать вероятность не только появления скопления знаков в узкой части рисунка, но и избегать ошибок при расстановке и сравнении. Почему? Потому, что является возможность организовать последовательный перенос точек, от наименьшей до наибольшей. Каждая следующая сравнивается только с предыдущей (в соответствии с порядком возрастания или убывания). Для того, чтобы не пропустить какую-либо из них и быстрее сравнить оставшиеся границы будущих промежутков репетитор по математике вычеркивает отмеченные точки из списка таким образом:

В таком же ключе репетитор по математике настоятельно рекомендует ученику отмечать точки.
2) Знаки на промежутках должны располагаться по другую сторону от прямой (в верхней ее части), а критические точки подписываться по другую сторону (в нижней).

3) Тем самым репетитор по математике расчищает рисунок и делает его более читабельным. Для того, чтобы интервальные знаки не тонули в общей картине их желательно рисовать жирными и длинными.

О выделении промежутков

В учебниках математики, а также на уроках с репетиторами при оформлении решений методом интервалов часто можно встретить загадочные бугорки — кружева, расположенные над промежутками вдоль всей оси. Как и любой другой знак, поставленный репетитором, он должен быть объяснен ученику. Линии не несут никакой смысловой нагрузки, а только выделяют промежутки для того, чтобы они не утонули в потоке пробных точек (изображенных вместе с критическими). Если репетитор по математике отказывается от их использования, то и выделять ничего не нужно. Это является дополнительным аргумент в пользу применения правила чередования знаков. Линиями лучще всего выделять сам ответ.

О выделении критических точек
Нули числителя, как известно, отмечаются согласно знаку неравенства (закрашиваются в случае нестрого знака и выкалываются в случае строгого), а нули знаменателя всегда отмечаются пустыми. Для того, чтобы в голове ученика это обстоятельство надежно отложилось, репетитору по математике следует принять определенные правила оформления записей. Под начальным неравенством проводитяс вертикальная линия. Слева от нее репетитор по математике записывает нули числителя, а справа нули знаменателя. Рядом с каждой колонкой можно указать характер переноса точек на рисунок. Я обычно рисую закрашенную точку у входящих в ответ нулей числителя и пустую точку рядом со списком нулей знаменателя.

О типичных ошибках учеников

Условия применимости метода интервалов должны отработаны репетитором по математике особым образом. Наиболее распространенной ошибкой учащихся в данной теме является использование алгоритма при отсутствии нуля в правой части. Нужно предложить отдельные задания на выявление подобных случаев. Кроме правого нуля выражение в левой части должно быть представлено в виде произведения линейных скобок. У дробей числитель и знаменатель должны быть также разложены на множители. За усвоением этих моментов репетитор по математике обязан следить самым пристальным образом. Кроме ошибок, связанных с условиями применимости метода интервалов, к типичным промахам относится пропуск нулевой критической точки. Она образуется от множителей вида .

Как далеко репетитор по математике углубляется в метод интервалов?

Cуществуют множество ситуаций, которые сводятся к рассматриваемому методу. Одних только алгебраических случаев насчитывается почти с десяток. Это целые и дробные левые частьи, различные комбинации степеней и разложений, совпадения критических точек и сокращения дробей, невозможность разложения скобок на линейные, множители — модули. Если репетитор нацелен дать сильному ученику полноценную подготовку к ЕГЭ по математике, он должен рассмотреть все виды задач. Для логарифмических и показательных неравенств очень актуален расширенный метод интервалов, о котором мы поговорим отдельно.

Оригинальные задания репетитора.
Однотипность любых математических упражнений угнетает даже взрослого ученика. Поэтому для их разнообразия репетитору приходится постоянно что-то выдумывать. В задачах на метод интервалов я использую следующий прием. В качестве дополнения к домашнему заданию предлагаю составить неравенство, левая часть которого имела бы заранее составленное распределение знаков, например:
Нестандартное задание репетитора по математике понравится ученику, а в отдельных случаях поможет стимулировать интерес к занятиям, и, как следствие, к самому предмету.

С уважением, А.Н. Колпаков. Репетитор по математике. Москва. Подготовка к ЕГЭ.