Обзор репетитора по математике задачи 14 с ЕГЭ 2016г

В правильной треугольной призме сторона основания AB равна 6, а боковое ребро . На ребре отмечена точка L так, что . Точки K и M — середины ребер и соответственно. Через точки K и L проведена секущая плоскость, параллельная прямой AC.

А) Доказать, что BM перпендикулярен этой плоскости
Б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение призмы этой плоскостью.

Репетитор по математике подробно о решении задачи 14 с ЕГЭ

Для начала необходимо понять, как проходит плоскость сечения. Поскольку она параллельна прямой AC, то ее след на нижнем основании призмы не может пересечь прямую AC, поэтому ей параллелен. Поскольку К — середина AB, то плоскость пересекает нижнее основание по средней линии KF (пусть F — середина BC). По свойству параллельных плоскостей (оснований призмы) пересеченных секущей плоскостью делаем вывод, что след LT на верхнем основании параллелен линии KF. Отсюда и поэтому  — равносторонний со стороной равной 1. Для пункта Б будет полезно отметить, что четырехугольник KTLF — трапеция с основаниями TL и KF.

Теперь приступим к доказательству того, что BM перпендикулярна к нашей плоскости. Для этого введем вспомогательную плоскость, проходящую через точки и . Поскольку прямая ей параллельна (в силу того, что ), то след ME от пересечения вспомогательной плоскости с ближней гранью не пересекает , а поэтому , причем E — середина AC и . Кроме этого нам понадобится P — точка пересечения и и N — точка пересечения прямых BE и KF.

Отметим, что построенная вспомогательная плоскость перпендикулярна к плоскости сечения KTLF. Действительно, и . Следовательно . Тогда плоскость, проходящая через TL (это как раз наша плоскость KTLF) тоже перпендикулярна к (по признаку перпендикулярности плоскостей).

Из того, что TL перпендикулярна вспомогательной плоскости следует, что . Поэтому достаточно доказать, что . Тогда BM будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости сечения, а поэтому и самому сечению.

Задача свелась к возне с диагональю прямоугольника и отрезком PN. Для нужного нам окончания доказательства, конечно, можно использовать метод координат и векторы и , но учитывая неизбежность решения пункта Б, воспользуемся следующим хитрым приемом. Проведем перпендикуляры MQ и BD на диагональ (MQ — будущая высота пирамиды для пункта Б). Пусть MB не перпендикулярно PN, тогда точки Q и D различны и не совпадают с точкой пересечения диагонали BM нашего прямоугольника и прямой PN.

— прямоугольный. По теореме Пифагора

Найдем угол N. Для этого рассмотрим трапецию . Очевидно N — середина BE, поэтому . Проведем в трапеции высоту PO=3. Тогда

По теореме Пифагора в треугольнике BME:

Если точки Q и D не совпадают с точкой пересечения прямых BM и PN, то должно выполняться неравенство BM>QM+BD (в силу того что катеты QM и BD меньше соответствующих гипотенуз на отрезке BM), но у нас получается, что

Это невозможно. Следовательно . Что и требовалось доказать.

Репетитор по математике о пункте Б

После таких сложных манипуляций поиск объема пирамиды MKTKLF представляется легкой прогулкой, ибо  — высота этой пирамиды, а основание KTLF — трапеция с основаниями TL=1, KF=3 и высотой

В итоге

Все!