Дополнительные разделы школьной математики на занятиях с репетитором

Привожу примерный список дополнительных разделов математики, которые можно рассмотреть на моих занятиях со способным учеником. Это не «потолок» возможностей, но нельзя чрезмерно отклоняться от программы. Школьный репетитор по математике прежде всего отвечает за поступление абитуриента в ВУЗ через механизм ЕГЭ (если не считать внутренний экзамен МГУ) и должен заниматься обучением основ предмета (просто на разном уровне). Не стоит рассматривать репетитора по математике в качестве акселератора развития до уровне высшей школы /ВУЗа и требовать от его занятий сверхзнаний. Кое-что можно рассмотреть из курса математического анализа, частично затронуть начало теории чисел или аналитической геометрии, рассмотреть спецприемы решений некоторых уравнений, неравенств и т.д., но во все надо знать меру.

Я всегда крайне осторожно подхожу к выбору конкретного плана, ибо существует риск перегрузить ученика и отвести его в сторону от приоритетных целей обучения, сводящихся в конечном итоге к поступлению в серьезное учебное заведение, связанное с математикой.

1) Теорема Менелая, Теорема Чевы, теорема Птолемея
2) Формула Пика
3) Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве
4) Дополнительные геометрические факты и формулы для вычисления различных элементов различных фигур (тел) и их комбинаций
5) Векторные приемы в планиметрии и стереометрии
6) Задачи на комбинации шаров с различными видами многогранниками
7) Метод развертки
8) Трехгранные углы
9) Золотое сечение
10) Метод расширения числа переменных в уравнениях и переходы к системам
11) Расширенный метод интервалов
12) Задачи с параметрами
аналитические, графические, графо-аналитические приемы, метод поиска необходимых условий, параметр как полноценная переменная – метод областей
13) Уравнения с итерациями
14) Метод обратных функций
15) Метод математической индукции
16) Бином Ньютона, треугольник паскаля, комбинаторные формулы
17) Расширенная теорема Виета
18) Теорема Безу, деление многочленов уголком, схема Горнера
19) Симметрические многочлены и системы
20) Возвратные уравнения, однородные уравнения высоких степеней, хитрые виды замен переменной и разложения на множители, метод подстановки, метод неопределенных коэффициентов.

Элементы теории чисел
21) Свойства делимости
22) Диафантовы уравнения
23) Система вычетов по натуральному модулю

Математический анализ
24) Функциональные приемы решения сложных уравнений (сравнение по монотонной функции, метод оценок, решения на промежутках, метод областей значений)
25) Точное и строгое введение предела и производной
26) Замена переменной для пределов
27) Методы раскрытия неопределенностей разного вида
28) Неявные функции
29) Параметрически заданные функции
30) Дифференциал и его инвариантность
31) Методы поиска и формулы для производных неявных и параметрических функций
32) Полярная система координат
33) Комплексные числа, модуль комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа, алгебраические действия и извлечение корня из комплексного числа.
34) Некоторые методы решения уравнений с применением комплексных чисел.
35) Применение производной в решении различных задач

Олимпиадная работа, как правило, не связана с расширенными программами специализированных школ / классов и факультативов, ибо задачи, которые предлагаются на олимпиадах по математике, обычно предполагают поиск уникальных решений в нестандартных ситуациях (без опоры на дополнительные знания).

С уважением, Александр Николаевич, репетитор по математике / Москва — Строгино.