Дидактика репетитора по математике: вычисления логарифмов (уровень A)

Комплект простейших заданий уровня А на вычисление логарифмов, который репетитор по математике регулярно использует на своих занятиях с большинством учеников. Материал предназначен для учащихся 10-11 классов и преподавателей в помощь при подготовке к ЕГЭ, а также для текущей школьной работы, направленной на отработку вычислительных навыков.

Вычислите:

1) log_{\sqrt{2}}4 =

2) log_{\sqrt{3}}81 =

3) log_{0,5} \sqrt[3]{2} =

4) log_{0,25} \sqrt[6]{4} =

5) log_{\frac{1}{3}} 9 =

6) log_{2\sqrt{2}} \frac{1}{8} =

7) log_{3\sqrt{3}} \frac{1}{27} =

8) log_{\frac{1}{\sqrt[5]{2}}} \dfrac{1}{4} =

9) log_{\frac{3}{\sqrt[4]{3}}} \dfrac{1}{9} =

10) log^2_{0,2}25 =

11) log^2_{0,16} \frac{2}{5} =

12) log_{3\frac{1}{3}} \sqrt[3]{0,09} =

13) log_{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}} \sqrt[3]{0,25} =

14) log_{\sqrt{0,6}} 2\frac{7}{9} =

15) log_{\sqrt[3]{0,4}} 2,5 =

16) log_{\sqrt{1 \frac{9}{16}}} \sqrt[3]{0,8} =

17) lg \sqrt[7]{10}

18) log_{Sin 30^\circ} \frac{1}{16}

19) log_{0,125}Cos 60^\circ

20) log_{tg \frac{\pi}{3}} 81

Напутствие репетитора по математике:
Вычисляя логарифмы, применяйте следующие формулы:
log_{a^n}b^m=\frac{m}{n}log_a b и log_a a=1
Для решения каждого задания представьте основание логарифма и число под его знаком в виде степени с одним и тем же основанием и вынесите полученные показатели из-под логарифма в его коэффициент. Логарифм с оставшимися равными числами будет равен единице.

Надо сказать, что в 80% задачниках по математике (школьных учебниках и пособиях по подготовке к ЕГЭ) крайне мало вычислительных упражнений на логарифмы, связанных со свойствами степеней. Если репетитор по математике использует стандартные пособия, то в его распоряжении оказывается обычно не более 5 — 6 примеров на логарифмы по каждому алгоритму их вычисления. Я уже давно не пользуюсь никакими задачниками и предлагаю ученикам свои материалы. В заданиях перемешиваю различные виды чисел: десятичные, обыкновенные, корни, дроби, степени с отрицательными показателями.

Вычислите логарифмы с использованием следующих формул:
log_{a}x+log_{a}y=log_{a}x \cdot y и log_{a}x - log_{a}y=log_{a} \frac{x}{y}

1) log_{3} 1,5 + log_{3}2 =

2) log_{12} 3 + log_{12}4 =

3) log_{6} 12 - log_{6}2 =

4) log_{8} 24 - log_{8}3 =

5) log_{3} 18 - log_{3}2 =

6) log_{15} 5 + log_{15}45 =

7) log_{12} 9 + 2log_{12}4 =

8) 2 log_{14} 2 + log_{14}49 =

9) log_{6} 2\sqrt{6} + 0,5log_{6}4 =

10) log_{\sqrt{7}} 2 + log_{7} \frac{4}{7} =

11) log_{\sqrt{3}} 18 - \frac{1}{3}log_{\sqrt{3}} 8 =

12) log_{\sqrt[3]{2}} \sqrt[3]{6} + log_{\frac{1}{8}} 3 =

13) log_{8} 12 + log_{\frac{1}{8}}3 =

Задачи на основное логарифмическое тождество: a^{log_{a}b}=b

1) 2^{log_{2}3}=

2) 3^{log_{3}7}=

3) 4^{1+log_{4}3}=

4) 5^{1-log_{5}2}=

5) 0,5^{log_{\sqrt{2}}3}=

6) 0,4^{2log_{2,5}2}=

7) \sqrt[3]{2}^{log_{4}3}=

8) \left ( 2^{1-log_{\sqrt{2}}3} \right)^2=

9) \left ( 3^{1+log_{\sqrt{3}}2} \right)^2=

10) 4^{0,5-2 log_{\sqrt{2}} \sqrt[8]{3}}=

11) 2^{\dfrac{1}{log_{7}2}}=

12) 3^{\dfrac{1}{log_{5}3}}=

13) 5^{\dfrac{2}{log_{3}5}}=

14) 2^{3log_{2}5+log_{2}3}=

15) 3^{2log_{9}5+log_{3}2}=

16) \sqrt{6}^{\dfrac{2}{log_{9}6}}=

17) 2^{1-\dfrac{3}{log_{3}2}}=

Задачи на формулу перехода к новому основанию
\dfrac{log_{a}b}{log_{a}c}=log_{c}b

1) \dfrac{log_{2}7}{log_{2}49} =

2) \dfrac{log_{5}16}{log_{5}0,5} =

3) \dfrac{log_{3} \sqrt{8}}{log_{3}0,25} =

4) \dfrac{log_{11} \sqrt[7]{3}}{log_{11} \dfrac{1}{3}} =

5) \dfrac{log_{2} \sqrt[3]{5}}{log_{4} \frac{1}{25}} =

6) \dfrac{log_{5} \dfrac{1}{4}}{log_{0,04} 2} =

7) log_{2}3 \cdot log_{3}{4}=

8) log_{\frac{1}{9}} 0,4 \cdot log_{0,4}{3}=

9) log_{0,6} \sqrt{13} \cdot log_{\sqrt{13}} 1 \frac{2}{3}=

Комментарий репетитора по математике относительно состава задач. Задания на логарифмы составлены по классическим законам методики и дидактики и имеют достаточное количеством однотипных упражнений. На первый взгляд может показаться, что все номера, взятые из одного раздела, как две капли воды похожи друг на друга. Отличие наблюдается только в числах. Но любой опытный репетитор по математике Вам скажет, что достаточно в одном из таких однотипных примеров поменять какое-нибудь целое число, например, на иррациональное или на дробное и перед ученик мгновенно растеряется. Поэтому я постарался обыграть все возможные числовые ситуации разнообразить номера десятичными и обыкновенными дробями, корнями разных степеней, комбинациями действий и коэффициентов, окружающих логарифмы.

В реальности я подаю задания ученику на отдельном листочке А4 с максимально плотным расположением примеров. Все на одном листе! Один из таких планов с представлен ниже:
Как репетитор по математике подает задания

Ученикам:
Задания можно использовать для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике с целью научиться решать простейшие задачи на логарифмы из части В. Регулярно повторяйте с репетитором формулы, ибо без их уверенного запоминания Вам будет нелегко соориентироваться в вычислениях, в которых применяются сразу две или даже три формулы сразу.

Преподавателям:
Напишите свое мнение о качестве материалов. Понравилась ли Вам подборка упражнений? Насколько велика потребность в таких задачах у репетитора по математике? Помогли ли мои упражнения в практической работе? Пишите, комментируйте! Присылайте интересные логарифмические задания на вычисления, которые встретились Вам в тот или иной период подготовки к ЕГЭ.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — автор комплекта.

Оставьте отзыв