Олимпиадные задачи по математике на принцип Дирихле

by Колпаков А.Н. on 17 ноября 2011

Составители вступительных экзаменов в сильные математические школы очень любят включать в свои варианты олимпиадные задачи на принцип Дирихле. Однако их содержание не отличаются особым разнообразием, ибо сюжет задач должен точь в точь повторить условие принципа. Репетитор по математике обычно тратит на задачи данной тематики более одного олимпиадного урока из за достаточно сложной логики доказательств (для усвоения в 5 — 6 классе).

Задачи на принцип Дирихле:

1) Родители 25 учеников 5 класса «А» купили своим детям мобильные телефоны возьми разных моделей. Найдутся ли четыре ученика, имеющие телефоны одной модели?

2) В спортивный лагерь приехали отдыхать 97 человек. Докажите, что среди них найдутся хотя бы 9 человек, родившихся в один месяц.

3) В кондитерский отдел завезли 45 коробок с конфетами пяти разных наименований, причем в каждой коробке лежат конфеты только какого-то одного наименования. Найдутся ли 9 коробок с конфетами одного наименования?

4) Вычислите значение дроби:
Олимпиадная задача по математике на принцип ДирихлеВ ней разные буквы (множители) заменяют разные цифры, между которыми стоит знак умножения)

5) Лена и Борис играют в интересную игру. Лена рассыпает на шахматной доске 195 маленьких бусинок, а Борис пытается найти 4 бусинки, попавшие в одно поле. Если ему это удается, то он выигрывает. В противном случае выигрывает Лена. Кто из них обязательно выиграет, а кто проиграет?

6) Учитель математики объявил результаты самостоятельной работы, проведенной в 5 классе. Наибольшее число ошибок имел Олег. У него было ровно 13 ошибок. Можно ли найти среди 28 учащихся 5 класса, допустивших ошибки, три ученика с одинаковым количеством ошибок?

7) Какое максимальное количество клеток на доске размером 6×6 можно закрасить, чтобы никакие две из закрашенных клеток не соприкасались (даже в одной точке).

Историческая справка репетитора математики:
Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859) — великий немецкий математик, оставивший после себя несколько важных открытий в различных областях математики и физики: в математическом анализе (признак Дирихле сходимости ряда, функция Дирихле), в теории чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии). Имеются труды по математической физике (принцип Дирихле в теории гармонических функций).

Формулировка принципа Дирихле: При раскладывании (распределении) k предметов по n ящикам (классам) обязательно найдется ящик (класс), в котором количество этих предметов не меньше чем \dfrac{k}{n} .

Как репетитор по математике упрощает объяснение задач?

Очень важно точно подобрать слова, описывающие процесс распределения предметов. Если в ее условии задачи присутствуют не предметы, а люди (как с месяцами рождения), то фраза «разложим людей по ящикам» будет звучать издевательски. Тогда придется готовить об учениках, которые чем-то отличаются друг от друга. Но если репетитор по математике в каждой логической ссылке на условие задачи станет употреблять такой оборот, как «количество учеников, родивших в один месяц», то скорее всего перегрузит ученика. Лучше заменить ящики на комнаты. Для каждого месяца — своя комната. Это упростит описание сделанного предположения. Фраза репетитор могла бы звучать следующим образом: допустим, что ни в одной из комнат нет девяти человек.

Александр Колпаков, репетитор по математике. Москва. Подготовка к олимпиадам (5 класс).

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий