Подборка олимпиадного материала для репетиторов по математике, работающих с одаренными учениками 5-6 классов. Предлагаю задачи разных типов, расположенных не в порядке увеличения уровня их сложности. За основу взята олимпиада в школе им. Олехника от 10 апреля 2011г. Я несколько намеренно изменил тексты некоторых задач, так как некоторые из условий были предложены в тестовой форме, а некоторые слишком запутанно и неточно составлены.
Какую помощь ребенку должен оказать репетитор по математике при подготовке к олимпиадным испытаниям? На занятиях по решению сложных задач репетитор должен постараться обеспечить максимально удобную обстановку для умственной работы ученика. Рассуждения лучше воспринимаются, удобнее проверяются и легче встраиваются в правильном направлении, если в задаче используются, в первую очередь, рисунки, схемы и краткие записи. Можно советовать разбивать сложные задачи на этапы, задавать вопросы, которые помогаю обратить внимание ученика на заложенные составителем зацепочки. Важно найти «корень» задачи и вытащить с ним все содержимое на поверхностью. Главное не запутаться при растущем количестве полученных результатах объяснений. Поэтому репетитор по математике должен эти результаты кратко записывать до начала оформления полного решения (тот есть в процессе размышлений). Не стоит забывать, что если решений несколько, то надо найти все варианты. Не рекомендую репетитору «тащить» ребенка по всем этапам готовых решений или просто пересказывать их. Лучше всего описать ситуацию, расставляя в своем мини-рассказе акценты на самом главном. Тем самым репетитор наводит ребенка на мысль о решении. При получении от него какого-либо вывода или ответа, во избежание угадываний или отсутствия рассуждений, репетитору по математике стоит переспросить ученика: «Уверен? Точно ли? Как ты это выяснил?».
Удачи и успехов!
1) Настя и Даша решить подсчитать количество домов, построенных на одной и той же улице. Настя сказала. что домов больше 20, а у Даши получилось больше 21 дома. Найдите количество домов, если известно, что одна из девочек ошиблась, а другая дала верный ответ.
2) У Володи и Миши всего 62рубля. У Володи и Петра — 65 рублей, а у Миши и Петра — вместе 53 рубля. Найдите сумму денег у Володи.
3) В соревнованиях по стрельбе приняли участие 50 стрелков. Первый стрелок набрал 60 очков, второй набрал 80 очков, третий набрал среднее арифметическое очков двух первых участников, четвертый — среднее арифметическое очков трех первых участников. Каждый следующий стрелок набирал среднее арифметическое очков предыдущих стрелков. Сколько очков набрал 42-й стрелок?
4) Каждая сторона треугольника разделена семью делениями на 8 равных отрезков. Сколько можно найти разных треугольников с вершинами в этих точках деления, у которых ни одна из сторон не параллельна ни одной из сторон исходного треугольника?
5) Вася на доске перемножил все числа от 1 до 21 и полученное число записал в тетради. После этого он стер одну из цифр и заменил ее звездочкой. Найдите эту цифру, если у него получилось 51090942171*09440000.
6) Имеется равенство (ребус) УР+РА+AУ=УPA. Каждая из букв обозначает какую-то одну цифру. Найдите все варианты замены букв цифрами так, чтобы равенство получилось верным.
7) В классе 30 учеников. Немецкий язык в нем изучают 19 человек, английский учат 20 человек, а китайский — 6 человек. Каждый ученик, изучающий китайский язык и какой-нибудь еще, учит сразу все 3 языка. Одновременно только немецкий и английский языки учат 7 человек. Сколько учащихся изучают сразу три языка?
8) Двое игроков режут по очереди прямоугольный лист бумаги размером 100×99. За каждый ход можно разрезать один какой-нибудь кусочек вдоль его стороны (параллельно стороне). Какой игрок выиграет при правильной игре, который начинает или который ходит после него? Правильная игра — та игра, при которой каждый старается выиграть.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве,
Профессиональный репетитор в Строгино, м. Щукинская
.
{ 5 комментариев… прочтите их или напишите еще один }
Александр Николаевич, здравствуйте! Меня зовут Ольга (35 лет). Дочери 11 лет (5 класс). Решаем задачи олимпиады по математике от 10 апреля 2011 года. Все понятно, кроме Васи, который перемножал числа от 1 до 21. Ребенок понятие факториал не знает. Да и вряд ли тут надо решать таким образом. Подскажите идею задачи. Спасибо.
Я бы сказал, что задача №5 одна из самых простых. Конечно, в 5 классе ее решение доступно только тем учащимся, кто занимается по Петерсону. По классической программе учебника Виленкина свойства и признаки делимости проходят только в 6 классе. Относительно знака (!) и решения задачи: обычно дети быстро усваивают понятие «факториал», поэтому проблем у репетитора с использованием нового математического символа не возникает. Сложнее с определением цифры. Заметьте, что 21! делится на 9. А раз так, то можно применить соответствующий признак делимости (через сумму цифр).
Здравствуйте! Я и мой ребенок тоже пытаемся решать задачи олимпиады Олехника. Пока результаты весьма низкие. Поясните, пожалуйста, каким образом ребенок 4 класса сможет догадаться, что признаки делимости на 3 и на 9 применимы к понятиям факториал? А если, к примеру, вычислим корень из числа 21, то полученное значение тоже будет делиться на 3 и на 9 (следуя вашей логике)? А если площадь треугольника равна 21, значит все стороны равны 7, так как 21:3=7? Так? Поясните, пожалуйста, сама я не разберусь… Спасибо.
А догадываться и не нужно. Нужно заниматься. Если приглашаете репетитора по математкие, то это его задача донести ученику суть понятия. В 4 классе это сделать непросто. Или, по крайней мере, нужна серия занятий на делимость. Олимпиады по математике в 5-6 классе имеют сильно размытые границы соответствия программам. Возможно, это и правильно, ибо их цель любой олимпиады — выловить из общей массы детей самых одаренных, кто может самостоятельно учиться. Я уже давно не удивляюсь тому, что программы перемешиваются. Например, на последенй олимпиаде в Курчатовкую для поступления в 5 класс моему ученику попалась задача на куб. По всем программам он изучается в более поздний период. И если бы не репетитор по математике в моем лице — ученик бы ее не решил. С корнем и площадью не понял вопроса.
здравствуйте! Вы 31 января пишете, что: «Заметьте, что 21! делится на 9. А раз так, то можно применить соответствующий признак делимости (через сумму цифр)». А как узнать, что данное правило (применение признака делимости) МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ в данном конкретном случае? Спасибо