Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

by Колпаков А.Н. on 30 сентября 2010

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике3
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть AB^2=BC^2+AC^2

2) Формулы площади треугольника
Площадь треугольника
1) S = \dfrac{1}{2}a \cdot h_a

2) S = \dfrac{1}{2}a \cdot b \cdot Sin C

3) S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ,

где p = \frac {a+b+c}{2} (Формула Герона)

4) S = p \cdot r, где r- вписанной окружности

5) S = \dfrac{abc}{4R}, где R — радиус описанной окружности

3) Подобие треугольников

Подобные треугольники Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; \angle C = \angle C_1 и \dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {AC}{A_1C_1}=\dfrac {BC}{B_1C_1}

Обозначение: \vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1

4) Признаки подобия двух треугольников
1 признак подобия треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.



Коротко: если \angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 , то \vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1

2 признак подобия треугольников
2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны

Коротко: если \dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {BC}{B_1C_1} и \angle B = \angle B_1 , то \vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1

3 признак подобия треугольников3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть





Коротко: если \dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {AC}{A_1C_1}=\dfrac {BC}{B_1C_1} , то \vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1

5) Свойства подобных треугольников

если \vartriangle ABC \sim \vartriangle A_1B_1C_1 , то

\dfrac {AB}{A_1 B_1}=\dfrac {AC}{A_1 C_1}=\dfrac {BC}{B_1 C_1}= \dfrac {P}{P_1}=\dfrac {m}{m_1}=\dfrac {b}{b_1} = \dfrac {h}{h_1}=\dfrac {r}{r_1}= \dfrac {R}{R_1} = \sqrt{\dfrac {S}{S_1}} , где

m и m_1  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

b и b_1  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

h и h_1  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Высота, проведенная из вершины прямого угла Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
CA=\sqrt{AN \cdot AB}
CB=\sqrt{BN \cdot AB}
CN=\sqrt{AN \cdot NB}



7) Свойство медиан в треугольнике.

Свойства точки пересечения медиан в треугольнике

Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть

AO:OA_1 = 2:1
BO:OB_1 = 2:1
CO:OC_1 = 2:1



Свойство медианы в треугольнике Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),

То есть S_{\text{BAN}} = S_{\text{CAN}}

Свойство медиан в теугольнике





Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть

S_{\text{BON}} = S_{\text{CON}} = S_{\text{COK}} = S_{\text{AOK}}=
= S_{\text{AOM}} = S_{\text{BOM}}

8) Свойство биссектрис в треугольнике
Свойство биссектрисы в треугольнике Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.

То есть \dfrac{BN}{BA}=\dfrac{CN}{CA}

Свойство точки пересечения биссектрис в треугольнике Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

То есть \dfrac{BN}{NC}=\dfrac{S_{\text{ABN}}} {S_{\text{ANC}}}

11) Средняя линия треугольника

Cредняя линия в треугольнике

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

То есть MN || BC и MN = \dfrac{1}{2} BC







12) Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов и косинусов
Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.

То есть \dfrac{a}{sina}=\dfrac{b}{sinb}=\dfrac{c}{sinc}=2R

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
a^2=b^2+c^2-2bcCosA
b^2=a^2+c^2-2acCosB
c^2=a^2+b^2-2abCosC

13) Теорема Менелая
Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

То есть \dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AK}{KC} \cdot \dfrac{CN}{NB}=1

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

14) Теорема Чевы
Теорема Чевы

Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.

То есть \dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AK}{KC} \cdot \dfrac{CN}{NB}=1

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Метки: Геометрия, Справочник репетитора, Ученикам